抢红包的金额分配，它公平吗？

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标签: 算法 · 概率统计 · 蒙特卡罗方法 · 抢红包 · 思维模型

公平与有趣的定义

甲：我再强调一遍，春节抢红包算法必须设计得公平又有趣。

乙：十个人抢100块钱红包的话，每个人固定十块行吗？

甲：公平但不有趣。

乙：那每个人取一分钱到100块钱之间的随机值呢？

甲：有可能一个人抢了99，剩下九个人分一块钱。有趣但不公平，对那九个人也不有趣。

乙：懂了。假如这十个人抢1万次红包，公平就是每个人的均值要差不多都是十块钱，有趣就是方差要大。比如这次抢一块钱，下次抢19块钱，是这意思？

甲：那设成一分钱到20块钱之间的随机值呢？这样均值应该是十块钱，公平又有趣。

蒙特卡罗模拟与固定上限的缺陷

乙：怎么能验证一下？

甲：可以用蒙特卡罗方法。

乙：什么卡卡罗特？不懂。

甲：蒙特卡罗很简单，就是用程序模拟很多很多次，观察到的现象就表示了它实际的规律。走一个我看看。

乙：好了。这是模拟100万次抢红包的。结果和预期不太一致啊，前几位的均值方差都差不多，为什么后边变了呀？

甲：我想想啊。因为一开始红包余额充足，前面几个人都是一分钱到20块钱随机。比如一号抢的是多还是少，对2号没有任何影响，所以他们的均值和方差一模一样。但是到后边，要么余额不够多，7号、8号、9号抢不到20，而且越来越少，他们的均值就变小了；要么余额过多，全被最后一个人领取，所以它的均值和方差是最大的。

乙：得让每个人抢的多或少，立刻对后边产生影响，这才有意思。不能让前几个岁月静好，后几个负重前行啊。

动态上限算法

甲：问题在于固定上限20，把它调成动态了。怎么动态？不再是整体均值十块钱的二倍，而是剩余均值的二倍。

乙：是什么意思？

甲：你看哈，对于第一个人，他的上限是100块钱，十个人均值十块钱的二倍。如果他抢了一块钱，那么第二个人的上限就是剩余99块钱，九个人均值11块钱的二倍。依此类推，每个人的上限越来越高。

乙：这还公平吗？

甲：别忘了，公不公平看的不是上限，是均值哦。

手气最佳的概率分布

乙：对对对。再用你那个卡布奇诺模拟一下。

甲：蒙特卡罗！看，均值是一样的。方差呢？微涨，毕竟还是越到后边受到的影响越大。看起来不错诶。

乙：第几个抢更容易抢到最大的红包呢？你再用那个卡斯特诶……

甲：蒙特卡罗！你看啊，随着抢红包的人数增加，最后几位的手气最佳概率会逐渐提升。所以要在最后抢红包。

乙：别光看贼吃肉啊，看这手气最差的概率哦，也是后几位最大。

甲：对啊，均值是一样的，后边更容易抢到最大的红包，也更容易抢到最小的红包。

乙：原来如此。诶，那你觉得怎么抢是最好的？

甲：我觉得能抢到就是最好的。