六面体完整逻辑梳理

UP主: sevenjh · 时长: 46:55 · 🔗 B站原视频

发布: 2022-07-03 · 收录: 2024-11-21

标签: 公考 · 行测 · 图形推理 · 六面体 · 逻辑思维

这期视频要讲什么

这期视频主要把六面体的逻辑体系做一个完整讨论：先从六面体的立体结构认知开始，再到展开图，再讨论立体结构和展开图之间的关系，最后介绍几种常用方法。

其中会着重讲公共点法和挪位法，因为这两个方法搭配起来，几乎可以解决六面体所有题型。后面会用自问自答的方式，把这些方法统一梳理起来，并讲几种不同难度的题型。我会以类似“论文”的方式展现逻辑思路，尽量在少依赖空间想象的前提下把题做对，同时也能提高空间想象能力。

六面体的立体结构：点、线、面的数量关系

六面体有六个面，每个面都是正方形，有四条边、四个顶点。任选一个面，它周围有四个面与之相邻，还有一个面与之相对。可以看到前后、左右、上下三组对立面。

两个相邻面之间有一条棱，是这两个面共享的公共边贴合而成，总共有 12 条棱。三个相邻面之间有公共顶点，总共有 8 个顶点。

总结：六面体是“6 个面、8 个顶点、12 条棱”。

也可以用共享关系算：

• 棱：每个面 4 条边，但每条棱被两个面共享，所以 (6 \times 4 \div 2 = 12)。
• 顶点：每个面 4 个顶点，但每个顶点被 3 个面共享，所以 (6 \times 4 \div 3 = 8)。

六面体展开图：11 种形式与统一的数量特征

六面体展开图一共 11 种：

• 141 形式：6 种
• 231 形式：3 种
• 222 形式：1 种
• 334（或三三型）形式：1 种

展开图的线：内线、外线与 12 条棱的对应

把展开图中连接面与面的那种“连接线”称为内线，外边框称为外线。

观察会发现：不管是哪一种展开图，内线都是 5 条，外线都是 14 条。

理解方式：

• 内线对应的是原六面体被裁剪后直接保留下来的棱。
• 外线可以理解为棱拆开后形成的公共边，一共 14 条外线等于 7 组公共边。

可以看到：5（内线）+ 7（外线对应的公共边组数）= 12，对应立体图形中的 12 条棱。这就是立体图形与展开图之间的一种共同关系。

展开图的点：单面点、双面点、三面点与 8 个顶点

外线是一笔画的外形，14 条线首尾相接会产生 14 个点。可以把这 14 个点分成三类：

• 单面点：周围只有一个面
• 双面点：周围有两个面
• 三面点：周围有三个面

因为立方体顶点“点共三面”，所以：

• 三面点本身就是一个立体顶点，不需要配对。
• 双面点一定要再配一个点，才能形成“顶点共三面”。
• 单面点如果有剩余，需要以“三个一组”配成一个立体顶点（对应三个单面点拼成一个立体顶点）。

最终配出来的立体顶点总数必须等于 8。

展开图同构：展开图之间可以互相变换

查阅资料后会发现：正方体展开图存在“同构”的思想。核心意思是：在“三面共点”的初始条件下，把其中某个面绕公共顶点旋转，可以得到其他同构展开图。

因此不论是 141、231、222、334 等形式，很多都可以通过一步或多步同构变化互相得到。

同构的一个好处是：可以更清晰地确定对立面关系，不用死记“Z 字两端”。因为一些结构下，直线间隔两个面的位置关系可以直接推导对立面，同构稍微变换一下就能看清对立面。

立体结构与展开图的关系：面、线、点三个维度

以面为参考：对立面与相邻面

立体图形中有三组对立面（前后、左右、上下）。一个正确的立体视图不可能同时看到一组对立面。

展开图是平铺的，问题变成“如何确定对立面”。常用两种思路：

1. Z 字两端为对立面。
2. 结合展开图的统一结构：三个面连成一条线时，首尾两面为对立面（理解一下就行）。

相邻面关系：任意一个面周围有四个相邻面，并且这四个面存在顺时针顺序。原因是正方形四条边首尾相接形成闭合回路，顺序是确定的。立体图形与展开图在“外表面”条件下，这个顺时针关系是对应的。

以线为参考：公共边怎么定位

六面体的棱如果在展开图中没被拆开，它就是内线，可以直接确定这条线两边的面。

如果棱被拆开成两条公共边，则需要在展开图中定位“哪两条边是一组公共边”。这里有一种 L 型思路：从直角顶点出发，把两条直角边视为一组边，然后尽可能沿直线延长标记，直到不能再直线延长；如果同时遇到拐点，则结束这一组，另找直角顶点继续。这样可以把公共边一组一组标出来。

如果某些图形用 L 型不方便，就需要配合公共点来确定公共边。

以点为参考：公共点与点共三面

六面体顶点周围有三个面，并且在立体图中这三个面也存在顺时针顺序。展开后被分开，就需要在展开图中确定公共点。

一个小技巧：一组对立面对应八个顶点，也就是立方体的八个顶点。做题时可以用来辅助检查。

公共点定位：马走双日法

公共点法的关键方法之一是“马走双日法”。

步骤：

1. 选取任意一个点 A（优先单面点或双面点；三面点本身已是顶点不需要配对）。
2. 以 A 所在面与其相邻面组成一个“日”字结构，取“日”的斜对角点 B 作为过渡点。
3. 以过渡点 B 重复上述步骤，再走一个“日”字到达斜对角点 C，则 A 与 C 对应同一个“点共三面”的公共点。

注意：

• 过渡点必须还能组成下一个“日”字，否则是无效过渡点。
• 过渡点有时会存在两个“日”字可走，这往往对应“三个单面点配对成一个顶点”的情况，需要可能走两遍来确认。

有些特殊情况不必用马走双日：比如从直角顶点出发的直角边可直接判定公共边，进而推出公共点。

六面体常用解题方法总览

1）对立面排除法

立体图形中，一组对立面有且只能看到一个。若选项中两个对立面同时出现，或一组对立面两个都没出现，都可以直接排除。

2）箭头法

利用正方形面上的图案特征：

• 中心对称图形：旋转后不变，左右、上下不容易区分，意义不大。
• 非中心对称图形：更容易确定方向，优先作为突破口。

如果六个面有重复图案（“多胞胎”），也尽量避开，因为不容易立刻确定对应的是哪一个面。

3）公共边法

任意一个面有四个相邻面和一个相对面。两个相邻面的公共边是唯一的，做题时关键是找公共边并核对矛盾关系。公共边的定位方法前面已经讲过。

4）画边法

步骤核心是：

• 找一个“特殊面”的唯一点或唯一边。
• 在立体图形和展开图中同时按顺时针（外表面条件下）标号。
• 沿顺时针描这个面的四条边，对比题干与选项一致性，不一致直接排除。

5）公共点法

核心知识点：

• 点共三面。
• 三个面存在顺时针顺序。 公共点通常更好找，配合马走双日法，可以直接对选项中的“三面共点”进行判定。

6）挪位法（公共点法 + 公共边法的统一）

挪位法可以理解为公共点法与公共边法的高级结合。确定了公共边或公共点后，可以把相关面“挪移”贴合，在此基础上判断公共边的矛盾关系；若以公共点为基准挪移面，还需要进一步判定三个面的顺/逆时针关系是否一致。

方法的底层逻辑复盘（自问自答式梳理）

• 为什么画边法要选非中心对称面？因为只有非中心对称才能确定某个点或边的唯一性，否则会出现多种等价情况难判断。
• 为什么要按顺时针？因为四边形边的顺序是确定的；题干多说明外表面，而外表面与内表面的顺时针顺序相反，所以确定外表面就必须用同一个顺时针规则。
• 对立面怎么稳？结合 141、231、222、334 以及同构关系去理解，不建议死记，靠熟练减少空间扭转成本。
• 公共边法的难点？要给边做方向标记，并用特殊位置找矛盾；若题目涉及多个面，可能要多次判定公共边。
• 挪位法是什么？确定公共边/公共点后做“割裂平移贴合”，用相对位置与顺逆时针关系判断矛盾。
• 箭头法的底层？本质也可以归到公共边的方向关系（前后左右）。
• 公共点法优势？点更容易找，点对点走双日，再用点共三面与顺时针顺序快速判定选项。

题型演示：用不同方法快速排除与确认

后面我用了一些题做演示，大致思路包括：

• 简单题可以用对立面直接排除。
• 给展开图选立体图时，用公共边矛盾、镜像方向、公共点（马走双日）来定位。
• 222 型题常用直角顶点对应公共点/公共边来判断锐角、直角是否匹配。
• 141 型外表面展开图可以全程用公共点法，通过唯一点、三面共点去排除。
• 遇到“三胞胎/六胞胎”这种面图案大量重复的题，公共边和箭头法会变弱，往往只能用公共点（八个顶点的结构约束）来判定。

2022 国考题：找不一样的展开图

这类题可以用公共点法：选一个特殊点走马走双日，看同一点周围是一元两方还是两元一方。对比四个选项，只有一个结构不同，就能选出来。

致谢

马走双日法主要是看了刷屏男孩“马玩”的视频学到的，这个方法大大提高了公共点法找公共点的效率。同构思路参考了将加强老师《利用同构法解决正方体展开图问题》一文。也感谢粉笔题库、粉笔圈子，以及评论区大家的鼓励和督促。这个视频就到这里。