【熟肉】你可以用PowerPoint做出所有旗帜吗？

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标签: PowerPoint · PPT技巧 · 平面设计 · 几何作图 · 国旗

挑战开始：在PowerPoint中绘制所有国旗

让我们在PowerPoint中绘制法国国旗。第一步画三个矩形，第二步颜色填充要准确。这真的很简单。但这真的是准确的法国国旗吗？当然存在许多略有差异的法国国旗版本，但如果我要精准呈现最广为人知的国旗版本，我需要保持三宽两高的比例。幸运的是PowerPoint有相应方法，绘制矩形时按住Shift键就变成了正方形。复制正方形并制作三行两列网格，按照我们刚才的着色，可以确定这就是完美的法国国旗。太棒了，感谢观看如何绘制法国国旗的教程。

那是什么进度条？你好？哇，是的，那就是进度条。你现在完成5%进度。今天是第197个国家中的一个吗？你的挑战是找出答案：要么在PowerPoint中绘制所有国旗，要么尝试而死。好吧，我可没报名参加这个。等等怎么回事？门在哪？我现在在哪儿？我怎么出去？

世界上所有国家的确切数量如何确定？这会不会很敏感？全球政治冲突不断，你说得对，很遗憾，我无法解决全球所有冲突。在本视频的时间范围内，我们将采用通俗易懂的讲解方式。网站Sporcle有一个名为“世界国旗”的测验，这是你需要制作的国旗完整列表。如果有人有异议，可以责怪Sporcle管理员。

假设这是真的，但谁来评判我画的国旗是否正确？你将获得制作图纸。例如，这是英国国旗的官方政府批准制作图纸。我们将使用这些官方规格（如果有的话），否则你可以按你想要的方式自行解读国旗。

几何作图的三大基本原则

我能用什么工具？你可以使用PowerPoint和Google Slides，两者功能大体相同，仅在第二部分有一些重要差异。最重要的部分来了，PowerPoint允许使用哪些功能？这是圆规和直尺。直尺属于作图工具，这是一个已有数千年历史的数学趣味几何领域，探讨仅用直尺、圆规和无其他工具作图。

它包含一些哲学理念。第一条，完美工具。假设用直尺画出的线条是绝对笔直的，用圆规画出的圆是完美圆形。在PowerPoint中，假设形状是完美的。例如，我按住Shift键绘制椭圆形状，它会变成完美圆形。我会忽略显示器像素是方形的事实，或电脑无法进行无限精确计算。

第二条，不靠目测。如果你要画一个正方形，必须画出数学上的完美正方形，不能只画一个看起来像正方形的形状。所以我必须严格按施工图纸绘制。

第三条，不测量。直尺没有任何长度刻度，因此不能使用。绘制时不能输入数字。例如，当我们右键点击形状并进入选项，不允许我们自行设置形状的宽度和高度精确到像素完美。

练习与简单条纹旗的绘制

为了帮助观众理解这些规则，这里有一个简单练习。现在打开PowerPoint或Google Slides，让我们共同尝试：能否绘制一个宽度是高度两倍的椭圆？

这里是一种方法：先画一个正方形，按住Ctrl拖动复制，将复制的正方形拖到原正方形旁，如果靠近足够，就会自动对齐。现在你有一个宽高比为2:1的形状。请画一个椭圆，将椭圆的角点拖动到两个正方形的角点，它们再次对齐，于是我们得到了椭圆。我们在寻找关键注释，在这个过程中，我们将形状对齐到其他对象。根据我们的第一条原则，当我们的完美程序PowerPoint执行这些对齐操作时，结果完全数学精确。

用新掌握的知识画一些旗帜。德国国旗宽高比为5:3（当我在视频中提到宽高比时，我总是先说宽度再说高度）。所以我需要制作十五个相同大小的正方形，五行三列，颜色分布为黑红金三色。已完成197个中的两个。

让我们尝试更复杂的旗帜：瑞士。瑞士十字白底红边。首先我要说明，我们不能直接使用PowerPoint的十字形状，因为看起来不同。我们可以拖动这个手柄改变形状，但这类手柄不会对齐任何对象。根据第二条原则，绝不肉眼估算，所以我们改用矩形。构造图说明需要将旗帜的宽高按6:7:6:7:6的比例分割来绘制瑞士十字。我们可以将旗帜划分为小矩形，首先画一个很小的正方形并定义长度为1，水平和垂直复制它。接下来需要创建四种类型矩形：6×6、7×6、6×7和7×7，然后进行排列。填充颜色就完成了，197个中的三个。

定理一：整数比例矩形的构造

如果所有旗帜都这么简单的话，视频将长达七小时。它们会不会越来越复杂？正确。我恐怕在完成这个挑战前会饿死。有一个变通方法：问题在于，你能用PowerPoint画出所有旗帜吗？所以如果你能证明绘制旗帜是可行的，那就不用经历整个过程。

我觉得我的方法已经覆盖了很多旗帜，所有仅由水平和垂直条纹组成的旗帜。但观察泰国国旗，这面旗帜其实就是两个矩形，矩形的高度必须为1，宽度为π。你能画出这样的矩形吗？在PowerPoint里画出高度1、宽度π的矩形？我不知道。等等，这不就是波兰国旗吗？难道波兰国旗就是这样定义的？不是，这是我们虚构的国家。关键是你还没证明能画出任意条纹旗帜。

那这样如何，我能画出任何可拆分为矩形的旗帜，且矩形的宽高均为整数。为什么呢？因为我刚才演示的，只需复制一个正方形，然后就能画出任意你想要的矩形。

定理一：给定边长为1的正方形，我们可以创建任意两个正整数w和h的矩形。为什么我的视频里有定理？因为这是一档高度学术性的视频。继续吧，我们只需遍历所有能这样绘制的旗帜。先从水平条纹开始，比如亚美尼亚、奥地利、博茨瓦纳、保加利亚、哥伦比亚、爱沙尼亚、加蓬、几内亚比绍、德国、匈牙利、印度尼西亚、拉脱维亚、立陶宛、卢森堡、毛里求斯、摩纳哥、荷兰、波兰、俄罗斯、塞拉利昂、乌克兰、也门。这就是所有横向条纹。现在是垂直方向：比利时、乍得、科特迪瓦、法国、爱尔兰、意大利、几内亚、马里、尼日利亚、秘鲁、罗马尼亚。然后在马达加斯加和阿联酋。丹麦在北欧十字架上，冰岛、挪威、瑞典。最后几个希腊、瑞士。四五十面旗帜清理完毕。

复杂国徽的近似解法：微积分与极限

让我们澄清一些定义。定义边长为1的正方形称为单位正方形。假设我们在PowerPoint中有一个单位正方形，如果能创建边长为x的正方形，则称数字x在PowerPoint中可构造。例如，5可以用PowerPoint构造。这与直尺和圆规作图有相似之处。假设有一个长度为1的线段，如果仅用这些工具能创建长度为x的线段，则我们说x可以用直尺和圆规构造。然而，PowerPoint中可构造的数字与直尺圆规可构造的数字不同。每当提到可构造性时，我们指PowerPoint中的可构造性。为明确本章内容，我们将证明所有自然数均可构造。

这很酷，但挑战将从此变得更加艰巨。房间里的大象来了：如何在PowerPoint中绘制徽章？看看西班牙的国徽，或不丹旗帜上的龙。所有信息都在构造图中。西班牙皇家法令规定国徽高度必须如此，应距离旗杆指定距离。关于设计部分，应有三座塔楼城堡、戴着王冠的站立紫色狮子、石榴和两片叶子。等等，这些都没有精确长度，只是描述性内容。徽章没有数学规则吗？没有。事实上甚至有人批评官方旗帜规则过于粗糙，例如狮子本应是紫色的，但在旗帜上看起来更接近粉色。

我认为这个徽章根本不会构成威胁。如果我只是要画出足够接近描述的东西，那当然可以在PowerPoint里轻松完成。如果评委特别挑剔怎么办？即使他们很挑剔，他们只是在寻找一定细节程度。在数学里，很多事情都会变得简单，如果你只需要近似解而非精确解。如果允许任何误差范围，无论多小，只要你投入足够多精力就能做到。

我知道一些大学数学可以更准确解释。无论误差范围是多少，我们称之为$\epsilon$代表误差。假设我要做的工作量是x。如果评委要求我们绘制的每部分与实际旗帜相差不到一毫米，我将放大旗帜细节，并用大量方块像像素一样覆盖我们观察的徽章每个部分。如果我们使用微小方块，仍能确保所有部分误差小于一毫米。用x表示我使用的方块数量，这基本描述了我投入的工作量。无论误差范围是多少，我们总能找到某个工作量水平，假设为大写X，使得如果我们投入至少那个工作量，评委就会满意。

让我们用更多符号解释满意的条件。x代表工作量，用f(x)表示投入x工作量绘制的旗帜。我将称原旗为Alpha版本。我们的旗帜与原旗的差异在$\epsilon$下方。在微积分中可以这样简化：我们说我们旗帜的极限，当工作趋近于无穷大时是原旗。如果我们投入更多工作，我们的旗帜会接近原旗，越来越像一个函数收敛到一个值。

精彩的数学理论，但让我们看看你在PowerPoint绘图的实际水平。这是阿尔巴尼亚国旗，徽章仅用单色，应该是最容易绘制的旗帜之一。我必须实际画出来，你不是说证明就够了吗？但观众更直观，如果他们看到实际例子，看看你模仿徽章的能力。你有十分钟时间。这张脸怎么回事？你以为这张脸代表斯坎德培的英勇？好吧，我没花太多功夫。重点是，我可以投入更多时间和精力把它做得更好，这是一个概念验证。

现在我们证明了可以绘制任何由数学模糊图形组成的旗帜，以及整数长度的矩形。我们要逐一分析所有这些：阿根廷、巴巴多斯、伯利兹、玻利维亚、柬埔寨、加拿大、塞浦路斯、多米尼加共和国、厄瓜多尔、萨尔瓦多、斯威士兰、危地马拉、伊拉克、黎巴嫩、莱索托、列支敦士登、摩尔多瓦、黑山、尼加拉瓜、巴拉圭、圣文森特和格林纳丁斯、圣马力诺、沙特阿拉伯、塞尔维亚、斯洛伐克、西班牙、斯里兰卡、乌干达。八十八面旗帜完成，百分之四十四的工作。

有理数的构造与圆的绘制

至少我们已经完成了一半，难道接下来会更难吗？没错。看来是该画圆圈了。让我们看看日本国旗，这是构造图。等等，为什么有小数？这就是本章的主题。这没什么大不了的，我可以直接将图纸上的所有数字乘以五，比例会保持一致。

不过这让我想到，如果有一个边长为1的单位正方形，能否画出边长为1.2的正方形？你能画出边长为五分之一的正方形吗？画出五倍长的正方形很容易，但反过来不行，我们需要利用PPT的其他功能。这里有一个可能的解决方案：将正方形复制五次并排组合在一起，可以使用控制菜单或快捷键Ctrl+G。现在调整整体大小以适应原正方形的宽度，这样就得到边长为五分之一的正方形。

通过这种方法，可以创建任何自然数n的1/n长度的正方形。事实上你可以创建任何有理数。例如，如果我们想做一个边长为五分之九的正方形，那么我们只需这样画出九分之一，然后将其转换为九分之五。因此所有有理数（任何可以表示为分数的数）在PowerPoint中都是可构造的数。

实际上，应该说正有理数，因为有理数还包括负数。实际上无法画出边长为负三分之一的正方形，但每次说正有理数很烦人。数学上确实有解决办法：假设有一个单位正方形和一个边长为x的大正方形，然后总可以画出边长为x减三分之一的正方形。从这个角度我们可以处理负数，因为我们对所有x大于三分之一的情况都适用，我们直接说负三分之一是可构造的。

定理二：所有有理数都是可构造的。大写Q代表有理数。这对我们有什么帮助？有没有需要画有理数的旗帜？实际上毫无帮助，因为构造图上的有理数可以转化为整数，只要全部乘以分母。本章唯一新增的内容就是画圆。至少我们现在可以添加含圆的旗帜，比如日本、孟加拉国、尼日尔。因为新月实际上是白色圆被绿色圆覆盖。94面旗帜，还有6面简单的旗帜添加到列表。

无理数的挑战：构造根号二与根号三

然而从现在开始难度曲线将直线上升，变得非理性了。这是利比亚的国旗，上面有新月和星星。这个新月比马尔代夫的新月难得多，马尔代夫的新月只是由两个相同圆组成。利比亚的新月高度规定为六单位，最宽处宽度为一单位，还有一个条件是新月的尖端需与中心形成四十五度角。

那第二个圆有多大？我们知道第一个圆高六单位，意味着半径是三。如果画一个垂足，这个四十五度角告诉我们这个直角三角形的两边相等，长度为三除以根号二。假设第二个圆的半径是r，这意味着如果这是第二个圆的中心，这条线的长度是r。第一个圆的半径是三，从边缘到中心的距离是三，这段小部分的长度是三减一等于二。现在这段小部分的长度是r减二。我们知道这个三角形的这条边是三除以根号二，所以另一段是三除以根号二减去(r减二)。

我们已得到这个直角三角形的三边长度。通过使用勾股定理，我们可以发现这些长度之间的新关系。我不再详细计算，但最终这就是r。所以第二个圆的直径，我们需要在PowerPoint中绘制的圆是双倍的这个长度，即十五倍根号二减十六。

如果要完美绘制利比亚国旗，我们需要绘制一个大小为无理数的圆，我们需要构造根号二。这可能吗？你能画出比单位正方形长根号二倍的新正方形吗？解决方案很简单，哪里能找到根号二呢？单位正方形的对角线就是根号二。所以我们点击正方形，抓住这个手柄并按住Shift拖动，此时形状角度会锁定为15度的倍数。我们需要谨记第三条原则：禁止测量。但这条原则只是告诉我们不要手动输入数字，旋转正方形时我们从未输入任何数字，因此这是有效操作。现在可以绘制新正方形并将边长锁定到该对角线，这就是根号二。

完成之后，制作利比亚国旗圆的长度只需这个数值：十五倍根号二减十六。实际上，我们可以构造任何有理数、根号二和四则运算符号的组合。所有这类数字其实有数学名称，我们可以用Q扩域根号二表示，因此我们知道Q扩域根号二中的所有数都是可构造的。

接下来要构造根号三。和根号二类似，这次将单位正方形旋转30度并运用三角函数，得到(1+根号三)/2后，只需加倍长度再减一即可得到根号三。古巴国旗等设计中包含等边三角形和星星图案，这个星星应该位于三角形的中心位置。假设旗帜的高度为1，那么该点与旗帜左侧的距离是二分之一根号三。我们可以构造这个长度，因为它等于六分之根号三。

现在我们已扩展了PowerPoint中可构造的数字范围。但问题在于数字根号六，你应该能构造出根号六，即根号二乘以根号三。到目前为止当我需要十五倍的根号二，我只需复制根号二十五次。但对于根号二乘根号三，即使我有一个根号三的线段长度，也不能直接复制根号二次。

但有一个解决方案，就像我们从1得到根号二，如果我们对根号三做同样的过程，就能得到根号二倍的长度，这就是根号六。如果你能把单位正方形1转化为数字a，那么同样的过程可以将b转化为ab。实际上我们可以将其转化为另一个定理：如果数字a和b在PowerPoint中可构造，那么ab也属于可构造数字。

这里有个练习题给你们：你有一个长度为1的正方形和一个长度为a的正方形，能否构造出长度为1/a的新正方形？回顾如何制作五分之一，我们复制了五个1并将整体缩放到1内。这里可以做类似的操作，我们将其中一个放入a中并调整大小使其整体容纳在一个内，较小正方形的边长变为1除以a。稍加思考，我们也可以证明如果a和b是可构造数，那么a除以b也是可构造数。

本质上，从这一点开始，我们再也不需要询问是否能构造由可构造数组成的复杂数字，该集合在四则运算下始终闭合。更简洁地说，可构造数的集合构成一个域。

我们完成了大量技术性工作，现在让我们回到实际绘制旗帜。我们遗漏了许多包含三角形或斜条纹的旗帜。例如巴哈马国旗仅包含三条条纹和一个等边三角形，只需使用PowerPoint中的默认三角形形状即可绘制。现在让我们逐一处理：巴哈马、巴林（此处的锯齿状图案可通过拼接直角三角形实现）、不丹、赤道几内亚、埃塞俄比亚（大卫之星可拆分为小三角形精确绘制）、卡塔尔、刚果共和国、苏丹、巴勒斯坦。已完成一百零八面旗帜。

根号五的难题与第一部分结语

我们正式过了半程，另一半肯定不会太难。确实会很困难。英国国旗从几何角度看，仅由矩形和对角线构成，所以问题出在哪里？如果我们通过重叠直角三角形来构建，我们需要一个新的数字。施工图纸说明线条宽度为整数，并且每个三角形的宽高比应为2:1。毕达哥拉斯定理告诉我们，所有三角形的宽高均相差根号五倍。所以我们需要构造根号五。

怎么做？如果有一个长宽比为2:1的矩形，那么它的对角线就是根号五。我只需要制作这个矩形。是否需要旋转呢？我只能以15度的倍数旋转，这样对不上，而且不能目测调整。如果用一条线，我可以从一个角画到另一个角。等等，它真的会吸附到角落吗？我查过这个问题，结果确实吸附到角落。我可以再画一个正方形，这里到这里的距离是2，所以这就是根号五。

太好了，我画了一条长度为根号五的线。现在只需将其旋转为水平线，将这条线转化为根号五长度的正方形。等等，怎么旋转这条线？如果和别的元素组合会怎样？出现旋转手柄了，但这仍然锁定在十五度。有没有能把这变成水平线的功能？根本不可能。为什么显示旋转是零度？原来在PPT里，这个数值表示形状从原位旋转的角度。即使我能输入任意数字，也转不出精确水平线，因为实际需要的旋转角度是无理数。

如果用圆规画圆试试？固定一端在圆心，改变大小，不会锁定。怎么在PPT里做不出水平线？谷歌幻灯片情况一样。看看这个方法：我把根号五的线转三十度，然后画同样长度的正方形，这样对吗？这个正方形多长？应该是1/2加根号3。如果反过来试试，只转十五度，结果是根号2加3倍根号6除以4。感觉这里应该有根号五，哪里不对？

要详细解释的话，需要线性代数知识。我们在进行点旋转，用线性代数旋转点(2,1)，结果是一个点，其坐标由余弦和正弦的组合构成，其中永远不可能包含根号五。当我们以十五度的整数倍旋转时，真的没有办法将其变为根号五的平方。

你是否尝试过用现有数字构造根号五？你是说用有理数、根号二和根号三进行四则运算，然后得出根号五？我觉得这做不到。这些平方根就像不断延伸的无规律小数，这三个数完全不同，这使得它们互不兼容。证明现有数字无法生成根号五其实很困难，但数学上我们确实无法用已知数字构造根号五。我也找不到新的构造根号五的方法。

那我们如何绘制联合杰克旗？不仅仅是联合杰克旗，还有五十到六十面其他旗帜也需要根号五。难道我们要放弃所有这些吗？事实是，你不必放弃，因为其实可以在PowerPoint中构造根号五。PowerPoint中确实提供了一个默认形状，其中已经包含根号五。但请注意，几何难度在此之后将急剧增加。

这也是为什么第一部分会在此处结束。感谢观看本期疯狂的视频，我们从PowerPoint和旗帜开始，并经历了微积分、线性代数、域等内容。第二部分将难十倍，敬请期待。如果你们国家的国旗还未出现的话，如果有人能在PowerPoint中构造出根号十三，请告诉我。我是韩国人，韩国国旗需要根号十三，但我还没找到制作方法。感谢Patreon的支持者和我的父母，我只是一个人负责研究、剪辑和音乐制作，你们的支持意义重大。我还会发布幕后花絮和钢琴乐谱，去看看我的音乐频道，再见。