《线性代数》教学视频 宋浩老师（2024年更新）

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标签: 线性代数 · 宋浩 · 大学数学 · 考研数学 · 数学建模

新｜第一节二阶三阶行列式的定义

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新｜第二节排列与逆序

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新｜第三节n阶行列式

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新｜第四节行列式的性质

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新｜第五节行列式按一行（列）展开

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新｜第六节行列式按多行展开

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新｜第七节范德蒙德压缩

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新｜第八节克莱姆法则

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新｜矩阵一二节矩阵概念 矩阵加减法数乘

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新｜矩阵三四节矩阵的乘法 方阵的幂

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新｜五～七节 矩阵的转置 方阵的行列式 伴随矩阵

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新｜矩阵第八节 逆矩阵 解矩阵方程

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新｜矩阵第九十节 初等变换 标准形 阶梯形 初等矩阵

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1.1 二阶三阶行列式

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1.1 n阶行列式

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1.2 行列式的性质

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1.3 行列式按行展开

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1.4 行列式的计算（一）

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1.4 行列式的计算（二）

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1.5 克莱姆法则

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2.1 矩阵概念

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2.2 矩阵运算（一）

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2.2 矩阵运算（二）

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2.3 特殊矩阵

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2.4 逆矩阵（一）

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2.4 逆矩阵（二）

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2.5 分块矩阵

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2.6 初等变换（一）

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2.6 初等变换（二）

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2.6 初等变换（三）

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2.7 矩阵的秩（一）

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2.7 矩阵的秩（二）

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3.1 n维向量及其运算

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3.2 向量间的线性关系（一）

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3.2 向量间的线性关系（二）

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3.2 线性相关线性无关

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3.3 向量组的秩（一）

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3.3 向量组的秩（二）

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4.1 线性方程组

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4.2 线性方程组有解判定

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4.3 齐次方程组的解

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4.4 方程组解的结构（一）

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4.4 方程组解的结构（二）

那今天啊我们来看本章的最后一部分 就是非齐次线性方程组解的结构 因为我们在前面说了解的结构啊 是要把它有无穷多个解的时候 只用有限个就把它表示出来 在前面给大家介绍了 其次线性方程组解的结构 也就是说用它的基础解系 表示出来全部的解 那今天来看最后一部分 非齐次线性方程组解的结构 这部分内容啊相对来说重要一些 因为考试的时候啊 出题有两种可能 一种是出其次的 一种是出非其次的 很明显分析次要复杂一些 所以期末考试的时候 这一章的大题就是从这一部分出的 那对于ax等于b 我们叫一个非齐次线性方程组 首先啊你如果令它右边的b等于零 变成ax等于零 这个齐次线性方程组 叫这个非齐次线性方程组的导出组 它有下面的几个性质性质4.4.4 如果阿尔法一和阿尔法二 是ax等于b的解 那么阿尔法一减阿尔法二 是ax等于零的几 这个好办 要验证阿尔法一减阿尔法二是a40 的解 你就把它朝里带呗 a乘阿尔法一减阿尔法二分开 就是a阿尔法一减a阿尔法二 因为阿尔法一和阿尔法二 都是a s n b的几 所以a阿尔法一等于b a阿尔法二等于b b减b啊等于零 那也就是说 非齐次线性方程组的两个解相减 是导出组的解 第二个性质 如果阿尔法零是ax等于b的几 如果以他是ax等于零得几 那么阿尔法0+1 他是ax等于b的几 要验证它是解带进去呗 a阿尔法0+1塔分开 就是a阿尔法零加a1 因为x0 是ax等于b的几 所以a阿法零啊 就是b a一它等于零 所以最终用等于b 那也是说非其次 先发组的一个解和导出组的一个解 相加以后 仍然是非齐次线性方程组的解 好这两个性质 那下面啊我们还是给出一个啊这个 我们下面啊啊来看非齐次线性方程组 非齐线维方组解的结构 也就是说 当非齐次线性方程组有无穷多个解的时候 我们能不能用有限的几个解 就把它所有的解都表示出来 看定理4.4.3 如果阿尔法零ax等于b的一个解 我们给它个名字叫特解 也就是说啊我们先找a等于b的一个解 大家注意哈 这个地方虽然叫特解 但其实它并没有任何的特殊性 也就是说a等于b的随便一个解都行 都叫特解啊 所以这个特字并没有什么特别的含义 只要是解就行 如果一 是ax等于零的通解 那我们上节课说啊 通解就是能用基础解系来表示出来的解 叫通解 那也就是说一塔等于c11 t一加t2 1t2 到cn减r etn减r 其中啊这个一塔一塔 21t n减r是a x等于零的基础解析 把ax等于零的基础解析求出来 所以用阿尔法零加c11 推一加c21 他二一直加到c n减r e n减r就是 ax等于b的全部的几 或者叫通解 我们直接把结论给大家解释一下 也就是说ax等于b 但全部的解可以用ax等于b的一个特解 唉就是阿尔法零啊 是l s等于b的一个特解 加什么呢 ax等于零的基础解析的线性组合 好注意啊 s等于v的通解 用a等于b的一个特解 加a x x等于零的基础解系的先生组合 这不c11 t一加c21 t212 接到c n加r1 t加二 这就是他这个基础解析啊 它的线性组合来表示 这个结论啊证明不要简单 大家也几乎不用看 那现在说a等于b的全部的解 现在就变成了两个事 第一个是就是ax等于b的一个特解 你要把它求出来 第一个是第二个是ax等于零 它的基础解析你要求出来 然后表示出来就可以了 所以我们变成这样的两个任务 首先我们来解决第一个问题 就是a等于b的一个特级啊 怎么求 那下面我们用一个啊例题来给大家解释 就是课本这个例4.四点 要求它的一个特解 第一步 先把a一杠拿过来 注意因为这里是非齐次线性方程组 所以它解的时候要把a一杠拿过来 等于 把它的增广系数矩阵啊 把它抄过来 对它只做初等行变换 注意哈 只做初等行变换 化成行 简化阶梯形 最后一步啊 我给你写过来 中间的过程啊 我不再写了 然后啊 化成行简化阶梯型 注意在画的过程中 第一步啊 这个虚线你写上中间其实还有若干部 中间的那些虚线不用写 但是最后一个矩阵的虚线 你最好把它写上去 这样的话你知道了哦 虚线右边是那个短号 右边的常数项 写出它的同解方程组 闲的时候非零行的首 非零元的这些一留在左边 其余的通通挪到右边去 所以这里是个13/7啊 是等号右边的常数项 这俩队的x都挪过去 所以减3/7 x3 减七分之十三 x4 负的4/7+2/7 x3 加4/7 x4 好写在这里 注意不在左边的x都是自由未知量 所以这题比较明显啊 x3 和x4 是自由未知量 我们的第一个任务 求els等于b的一个特写好 大家看l3 l4 是自由未知量 自由未知量 随便取个数代进去 是不是都是它的一个假 那都取一带进去 是不是他的家啊 都取100带进去 也是他的解 对不对 所以啊这个位置的任意去取一个数代进去 都是他的一个几 那这时候你猜取什么时候算最简单 都是零呗 所以取x3 x4 等于零的时候 代入得 阿尔法零呢等于这就简简单了哈 零零带进去就是个七分之十三 这个负的4/7 零零带进区域就是ax等于b的一个特解 所以第一个问题 求它的a等于b的一个特解搞定 第二个问题 求a等于b的i s等于零的一个基础解析 等零啊 求它的基础解析啊 我们上节课已经介绍过了 怎么做呢 等零啊是吧 a拿过来只做初等行变换 化成行简化阶梯形 写出同解方程组 令自由未知量依次取10001001 大家有没有印象啊 完整的话 是不是应该这样的一套流程下来啊 你下去做发现如果把a拿过来 只做初等行变换化成这个行简化阶梯形啊 你做题的过程中 你发现和上面这个过程啊非常相似 因为a呀和a杠相比 是不是就差了曲线右边的这一列常数项 所以下面的坐定过程中啊 其实你把虚线右边的这些去掉 光留虚线左边的 是不是你直接就可以超过来呀 大家大概能明白我的意思吧 啊 所以我猜呀 这个a拿过来做行简化阶梯形啊 它最后一步应该是3/107 负的2/7 负的七分之四零零零零零零零零 和这个相比 它就少了虚线右边的常数项之一列 这个大家能理解是吧 能理解你如果写它的同解方程组 写他的同解方程组啊 我们写出来以后啊 你会发现x一等于好 直接写是个负的 3/7 x3 减13/7 x4 x2 呢等于2/7 x3 加上4/7 x4 写完以后你发现和上面这个式子相比 就差了虚线右边的常数项 所以他的同解方程组和它相比 是不是就差了 这个常数项和这个常数项而已啊 没有第思没有 所以啊今后咱做题的过程中 下面交给大家技巧哈 就是这些你通通不写啊 通通不喜上面那个过程写完了以后 你就写导出组的 同解方程组为 怎么写呢 上面这个同解方程组 等号右边的常数项直接去掉 x一等于 x2 等于 因为这个和这个相比 就差了虚线右边的常数项 所以你把常数项直接去掉 就是它同解方程 就是它导出总额 突然方程组直接写过了行情 大家能理解是吧 能理解这样做题步骤大大的省略 再写x3 x4 为自由未知量 下载过程大家都知道了 令自为这量依次取什么100 什么010 对不对 另x3 x4 取1001带进去 得到它的解 那一一呢就等于那一零带进去呢 是个负的3/7啊 2/7 101套二呢就等于零一 带进去呢是个负的七分之十三 这个4/7啊 011t11 大二有了 所以非齐次线性方程组 所有的解就等于特解 有了阿尔法林加c111 加c21 他c1 c2 为任意常数 注意写最后这个结果的时候 这个一的一个12前头有系数 这个阿尔法零这个特解前头啥的系数是一 大家明白你意思啊 这个系数是一 这个系数c1 c2 有的同学乱写一通啊 这a都写上了就错了 所以啊 我们总结一下这个非齐次线性方程组 通解 期末考试出的题和这个例题是一模一样的 肯定会出这种题啊 第一步写出a一杠 只做初等行 变换化为行 简化阶梯形 所以我们说啊用初等行变换化成行 简化阶梯形 这是个特别重要的技巧 后边我们说大量的题目都要用到哈 写成行 简化阶梯型 第二步 非零行的 手飞行员 但那些一留在左边 听雨 都挪到右边 这样的话写出 非齐次方程组的同解方程组 然后指出 谁是自由未知量 那到底谁是自由未知量呢 不在左边的 都是自由未知量呀 有同学可能会说老师什么叫不在左边的 你直接说在右边的不就完了吗 但是关键问题是 他有的时候他那个这个变量在右边 压根儿就没出现 他的技术是不是都是零啊 都没有了 有同学就晕了 没有了 那那那那他他到底怎么着啊 不在左边的都是自由未知量 对不对 第三步令自由未知量 均取零 的 ax等于b的一个特解 lsu v家的都取零得x等于b的一个特点 第一个是搞定 字母 上面的这个同解方程组 就是这个同解方程组哈令啊 这个同解方程组 右边常数项 均为零啊 就是你上面的同样方向组啊 它等号右边有一些有常数项的 你把常数项圈通通去掉得 a x等于零的同解方程组啊 所以啊你直接令那个长相都等于零 就得到了它导出组的通用方程组 指出 谁是自由未知量 但这个指出谁是最微质量这个事儿啊 就不是那么麻烦了 因为上面指出谁是自由未知量哈 那这里谁是自由未知量是一样的啊 并没有任何变化 令 自由未知量 什么什么东西 一次取什么一零 什么是零啊 什么零一什么零啊 得 a x等于零的基础解析 第五部 特写 有了甲这个ax等于零的基础解析 线性组合就可以了 这个做题过程搞定哎 期末考试十分到手 对不对 那这十分儿啊难不难拿呢 我们从呃第二步开始啊 给大家分析这十分难不难拿 第二不是非令行首飞行员都留在左边 其余的行 其余挪到右边 这个答案会哈指出谁是自由未知量 lsu v质量都取零 都取零带进去 这玩意计算忒简单了 对不对 都是零嘛 肯定好 算 得出它的一个特解 所以你看特写也算不麻烦 然后令它的常数项都为零 常数项原来有的咔咔咔都去掉吗 得出导出组的同解方程组 然后令啊它是最为质量 依次取什么11000啊 什么01000啊 朝里代表了技术解析 看来这100001000超级蛋 这玩意儿计算也不麻烦 表示出来就可以了 所以后面的这些步骤啊 几乎没有任何的计算量 计算量在哪里呢 只在第一步就是化成行简化阶梯型 你要是这个行简化阶梯型啊 你呀画的不对呀 后边所有的全都会错 所以后边这些步骤啊非常简单 都是照葫芦画瓢 也没多大计算量 照葫芦画瓢搬呗 关键是第一步写出这个这个他的那个行 简化阶梯型非常的重要啊 非常啊 这个就是我们说在期末考试的时候啊 非齐次线性方程组的通解的解题过程啊 就是这个样子的啊 就是这样 希望我写的这些个步骤啊 大家一定要牢记 并且我这种步骤已经是给你细到 不能再细了对吧 所以有的时候我也在反省哈 就是我教的这么细啊 括弧我教的这么好 对不对 我教的这么细 到底对我们同学好不好 因为我说白了我教的这么细 我思考的这么多哈 我们同学思考的就少了 你跟着我学就很简单 你就照着我的去做就行了对吧 这样的话是不是没有给大家思考的余地了 或者说大家脑子就不用不用转了 你跟人孙老师的步骤咔咔咔来呗 对不对 大家脑子就不转了 是不是会影响大家将来成为科学家 对不对 关于我们这个班里头 原来应该能出来十个科学家 结果被宋老师一教 他不思考了 就就就就就就就就就就 就就成不了科学家了对吧 有的时候我也在想这个问题哈 但后来我也想哈 其实估计我们同学如果我不教给你的话 我们同学也不会去思考 对不对 这样会造成大面积的不及格对吧 如果出来一个宋老师 因为教的细 导致我们同学的不及格减小了很多 那宋老师的出现也是很有意义的嘛 对不对啊 所以这个这个这2年吧 我还是 因为人家有的老师不会教的这么细啊 自己看去呗 这个题太简单了 第五章太简单了 大家自己看吧 不讲了 第六章啊 哎太简单了 大家自己看吧 不讲了 啥都是这个样子的 对不对 不像我好吗 每一步都得给你教的 这么细哈 所以也也可能最近这2年哈 就是说可能受我的影响啊 呃可能很多同学啊 对数学可能产生了兴趣啊 霍尔其玛啊 这个这个做数学不是那么出头了啊 这个我觉得都有可能啊 都有可能 下面啊我把这个解题步骤完 再给大家说一点 就容易出错的地方 就是有的同学做题他晕哈 注意求这个特写的时候 我们一般的做法是令自由未知量啊 全取零 得出它的一个特点 其实啊你令自由未知量取任何数代进去 是不是都是在它一个特价 所以其实无所谓 你爱怎么弄怎么弄 但是我告诉你 考试的标准答案 一定是令自由未知量全取零 所以啊大家就按照这种正常的逻辑去做 有的同学呢偏是和老师过不去 老师我就偏都不取零它吧 就随便取个数 比方说都取一啊 都取二 其实啊那个结果其实也对 但是吧大家想哈 我们阅卷老师呢哎带的卷子 这这个我们要在规定的时间内约完 所以啊我们特别喜欢那种标准的答案 一看和标准答案一模一样 我们解题过程我们几乎不看 直接全全对 其实说白了里面你有一些小错误 或者里面中间的环节有一些数算错了 其实我们也不看看最终结果 哎其实有的同学令自卫之量都取一哈 其实他的也是完全对的 但是吧 他的这个答案和我们给的答案不一样 我们大家一看答案不一样 我们就猜他可能就解错了 这时候如果你身份的解题过程啊 不是那么标准 不是那么规范 不好意思 大鼻灰扣个四分 扣五分 对不对哈 但其实仔细看也问题不大 还有问题 所以第一令自由未知量取零 大家一般都是这样取 求它这个特技令自由未知量依次取什么 1000 10001是求它导出组的基础解析 这两步大家不要晕掉了 好这是我们说在这个考试的时候 这种题目怎么做这种题目啊 我们就呃上课我们就不训练了 大家下去啊找题目去做哈 就是最关键的这一步化成行简化阶梯型 大家有没有想起来 我们再讲第三章最后一个例题的时候 应该是利3.3.3倍 对不对 最后一个找出它的一个极大线性无关组 并用该极大线性无关组表示出来 它全部的向量 嗯第三章最后一个例题嘛 你看例3.3.3嘛 对不对 那我记得还是挺准的 对不对 这个例题啊也是一定要化成行 简化阶梯形 后面的步骤都是写起来就比较简单了 好在这个知识点好 我们看一下最后一个例题 例4.4.5 这个例题啊很明显是一个考研的题目 说四元 非齐次线性方程组 系数矩阵它的秩等于三了 已知阿尔法一 阿尔法二 阿尔法三是三个解向量 并且阿尔法1=345 阿尔法二加阿尔法三啊 等于1234 让你求它的通解 啊这个题 好我们先来分析一下哈 这是个非齐次线性方程组 非齐次线性方程组通解我们刚才说了 它的通解呢应该等于a x 等于b的一个特解 加导出组的基础解析的线性组合 也就是说你得干两个事 一个是求as s等于b的一个特写 看原题说了 阿尔法一 阿尔法二 阿尔法三是它的三个解 并且阿尔法一是不是等于二 345已经知道了呀 所以阿尔法一就是个他的特写 可不可以啊 可以啊 特写有了吗 就是阿尔法一 但有同学说 老师啊 他说阿尔法一 阿尔法二 阿尔法三都是它的减 那你干嘛搞阿尔法一嘞 你说阿尔法二是它的特点还不行吗 你说阿尔法二不行 为什么呢 阿尔法二到底等于几 你知不知道啊 不知道 所以不能用阿尔法二 不能用阿尔法三好 第一个事搞定了 就是阿尔法一就是它的特技 现在的问题就是求导出组的基础解析 导出组啊是x等于零 它的基础解析这个题啊 哎这个方程也没有导出组是啥呢 也不知道 那这玩意儿怎么求 那我们想起来两个结论哈 首先导出组是ax等于零好首先问一下 其次线方程组 基础解系里边解的个数应该是多少个 n减r个 所以呢它的个数是n减r个好 你看说了 他是四元 所以n等于几 除了它系数矩阵a的秩等于3=3 所以它的计数解析里头有几个解 就一个 这是第一个 你要知道它只有一个解 第二个要求a x等于零的解 我们想起来这节课讲的那个解的性质 x等于b的两个解相减 是不是就是x等于零的解 所以你看因为阿尔法一 阿尔法二是ax等于b的几 所以阿尔法一是不是减 阿尔法二就是ax等于零的解呀 是不是啊 是的 哎呀他就一个解 那这这不就求出来了吗 阿尔法一减阿尔法二不就是减吗 但是一看啊不行 阿尔法二到底是几了 不知door 那怎么办呢 我们把这个性质再用一遍 因为阿尔法一和阿尔法三是它的解 所以阿尔法一减 阿尔法三也是i s等于零解 这个你能理解吧 能理解哈 再请问大家 a等于零的两个解相加 是不是仍然也是减 因为a x等于零嘛 俩解带进去 它右边永远都是零啊 也成立他俩解相加 那也说阿尔法一减阿尔法二加阿尔法三 就是ax等于零的一个解 哎就是它的一个解 那阿尔法一带进去呗 2345带进去 阿尔法二加阿尔法三把它带进去 1234把它带进去呢 这个解就是一个什么3456 3456 就是a x等于零的一个解 我们说了它计入解析里头只有一个解 那么这个解就吸引你这个题就完了 所以你看考研的题目啊 计算很简单 单就是解题步骤啊 哎牵扯到的知识点比较多 有的同学觉得可能这个题你真明白了 下面我把这个题略微改造 说阿尔法2+2倍的阿尔法三等于这个 请问下边的解题过程 你怎么样去改造做吧 那里多了个系数二下半的解题过程 怎么样去改造 好看一下 因为这里是阿尔法2+2倍的阿尔法三 那你说最后那个表达式里头啊 一定出现的是阿尔法2+2倍的阿尔法三 前面的过程都一样 他俩相减是他的姐 他俩相减是他的解 为了凑这个系数二 阿尔法一减阿尔法三是它的解以后 那么二倍的它减二倍的 它是不是仍然是它的减 然后再把它俩解相加 那也就是说是三倍的阿尔法一 加上阿尔法2+2倍的阿尔法三 就是它的解 所以这个题应该这样测 好这个就是呃最后一个最重要的内容 非齐次线代方程组解的结构 后边什么投入产出法 后边这些内容啊 我们都不讲哈 考试这章也就考到这个地方

上个视频32分钟的错误更正

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5.1 矩阵的特征值与特征向量（一）

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5.1 矩阵的特征值与特征向量（二）

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5,1 特征值和特征向量的性质

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A星星的行列式的更正

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5.2 相似矩阵和矩阵可对角化的条件

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5.3 内积定义 向量的模 内积性质

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5.3 内积性质 向量正交 施密特正交化

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5.3 正交矩阵 实对称矩阵的相似对角化

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6.1 二次型定义

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6.2 二次型化标准型（配方法）

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6.2 二次型化标准型（初等变换法和正交替换法）

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6.3 有定性

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6.3 有定性的判别

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7.1 线性空间

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7.2 基维数坐标

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